Question

已知x，y滿(mǎn)足約束條件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2

5

時(shí)，a²+b²的最小值為（　�。�

• A、5
• B、4
• C、

  5

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件正�？尚杏�，然后求出使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到2a+b-2

5

=0．a(chǎn)²+b²的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)2a+b-2

5

=0的距離的平方，然后由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得答案．

解答： 解：由約束條件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

作可行域如圖，

聯(lián)立

x-y-1=0 2x-y-3=0

，解得：A（2，1）．
化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程得：y=-

a

b

x+

z

b

（b＞0）．
由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=-

a

b

x+

z

b

過(guò)A點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，z最�。�
∴2a+b=2

5

．
即2a+b-2

5

=0．
則a²+b²的最小值為(

-2 5

5

)2=4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，是中檔題．