Question

已知點P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

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)x的圖象上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）對數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個5（如在a₁與a₂之間插入2⁰個5，a₂與a₃之間插入2¹個5，a₃與a₄之間插入2²個5，…，依此類推），得到一個新數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式求解bn=(

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)an，an=n，bn=(

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)n(n∈N*)即可．
（2）運用遞推得出：新數(shù)列中從a₁到a_k共有A_k項：A_k=k+2^k-1-1，求解即可．

解答： 解：（1）∵點P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

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)x的圖象上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數(shù)列．
∴bn=(

1

2

)an，an=n，bn=(

1

2

)n(n∈N*)
（2）設(shè)新數(shù)列中從a₁到a_k共有A_k項：A_k=k+2^k-1-1，
當(dāng)k=10時，A_k＜1000，當(dāng)k=11時，A_k＞1000，
S₁₀₀₀=a₁+a₂…+a₁₀+5×（990）=5005．

點評：本題考察了數(shù)列與函數(shù)的綜合，運用常見的數(shù)學(xué)知識求解，遞推，屬于中檔題．