Question

已知拋物線x²=4y，過(guò)原點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P₁，又過(guò)點(diǎn)P₁作斜率為

1

2

的直線交拋物線于點(diǎn)P₂，再過(guò)P₂作斜率為

1

4

的直線交拋物線于點(diǎn)P₃，-2＜x＜4，如此繼續(xù)．一般地，過(guò)點(diǎn)3＜x＜5作斜率為

1

2n

的直線交拋物線于點(diǎn)P_n+1，設(shè)點(diǎn)P_n（x_n，y_n）．
（1）求x₃-x₁的值；
（2）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記P_奇（x_奇，y_奇）為點(diǎn)列P₁，P₃，…，P_2n-1，…的極限點(diǎn)，求點(diǎn)P_奇的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出交點(diǎn)，即可得到；
（2）設(shè)出兩點(diǎn)點(diǎn)P_n（x_n，

1

4

xn2）．P_n+1（x_n+1，

1

4

xn+12），由直線的斜率公式，再由條件，運(yùn)用等比數(shù)列的定義，即可得證；
（3）運(yùn)用累加法，求得x_2n+1=

8

3

+

4

3×4n

，再由數(shù)列極限的概念，即可得到點(diǎn)P_奇的坐標(biāo)．

解答： （1）解：直線OP₁的方程為y=x，
由　

x2=4y y=x

解得P₁（4，4），
直線P₂P₁的方程為y-4=

1

2

（x-4），即y=

1

2

x+2，
由　

x2=4y y= 1 2 x+2

得P₂（-2，1），
直線P₂P₃的方程為y-1=

1

4

（x+2），即y=

1

4

x+

3

2

，
由　

x2=4y y= 1 4 x+ 3 2

解得，P₃（3，

9

4

），
所以x₃-x₁=3-4=-1．   
（2）證明：因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)P_n（x_n，

1

4

xn2）．P_n+1（x_n+1，

1

4

xn+12），
由拋物線的方程和斜率公式得到，

1

4

xn+12-xn2

xn+1-xn

=

1

2n

⇒xn+1+xn=

4

2n

，
所以x_n+x_n-1=

8

2n

，兩式相減得x_n+1-x_n-1=-

4

2n

，
用2n代換n得b_n=x_2n+1-x_2n-1=-

4

4n

，
由（1）知，當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
所以{b_n}是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為b_n=-

4

4n

；
（3）解：由x2n+1-x2n-1=-

4

4n

得，x3-x1=-

4

4

，x5-x3=-

4

42

，…，
x2n+1-x2n-1=-

4

4n

，
以上各式相加得x_2n+1=

8

3

+

4

3×4n

，
所以x_奇=

lim

n→∞

x2n+1=

8

3

，y_奇=

1

4

x_奇²=

16

9

，
即點(diǎn)P奇的坐標(biāo)為（

8

3

，

16

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程求交點(diǎn)，考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的求法，考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，及數(shù)列極限的運(yùn)算，屬于中檔題．