Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+2 an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列性質(zhì)，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=2n+22n=2n+4n，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列，
得（2+2d）²=（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，…（2分）
當(dāng)d=-1時(shí)，a₃=0，與a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列矛盾，舍去．∴d=2，…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n．…（6分）
（2）∵bn=2n+22n=2n+4n…（8分）
∴Sn=(2+4)+(4+42)+…+(2n+4n)
=（2+4+…+2n）+（4+4²+…+4ⁿ）
=

n(2+2n)

2

+

4(1-4n)

1-4

=n2+n+

4

3

(4n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．