已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f（x）=3-x．給出如下結(jié)論：
①對(duì)任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．

解：①∵對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f（x）=3-x．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正確；
②取x∈（3m，3m+1]，，
從而f（x）∈[0，+∞），正確；
③∵x∈（1，3]時(shí)，f（x）=3-x，對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+）=3n（3-（1+））=3n（2-）≠9，故③錯(cuò)誤；
故答案為：①②．
分析：依據(jù)題中條件注意研究每個(gè)選項(xiàng)的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個(gè)條件得到①正確；連續(xù)利用題中第①②個(gè)條件得到②正確，③錯(cuò)誤．
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)在于②x∈（3m，3m+1]，的轉(zhuǎn)化，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2-x給出結(jié)論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對(duì)任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．給出如下結(jié)論：
①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個(gè)數(shù)是
0
0
．

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