Question

17．設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=f（x+1）是偶函數(shù)，且當x≥1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，則f（$\frac{2}{3}$），f（$\frac{3}{2}$），f（$\frac{1}{3}$）的從大到小關(guān)系是f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)y=f（x+1）是偶函數(shù)得到函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，利用函數(shù)單調(diào)性和對稱性之間的關(guān)系，進行比較即可．

解答 解：∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，
∴y=f（x+1）關(guān)于y軸，即x=0對稱，
則y=f（x+1）向右平移1個單位，得到y(tǒng)=f（x），則f（x）關(guān)于x=1對稱，
則f（x）=f（2-x）
∵當x≥1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1為減函數(shù)，
∴當x≤1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則f（$\frac{3}{2}$）=f（2-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
∵$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）＜f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{2}{3}$），
即f（$\frac{1}{3}$）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{2}{3}$），
即f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$），
故答案為：f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）

點評 本題主要考查函數(shù)值的比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)對稱性之間的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化比較是解決本題的關(guān)鍵．