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7.設(shè)橢圓M:y2a2+x22=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù),且內(nèi)切于圓x2+y2=4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)已知A22,F(xiàn)是橢圓M的下焦點(diǎn),在橢圓M上是否存在點(diǎn)P,使△AFP的周長(zhǎng)最大?若存在,請(qǐng)求出△AFP周長(zhǎng)的最大值,并求此時(shí)△AFP的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)求得雙曲線的離心率,可得橢圓的離心率,再由橢圓和圓的關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,求得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意的定義,求得三角形AFP的周長(zhǎng),由兩點(diǎn)間線段最短可得周長(zhǎng)的最小值,再由三角形的面積公式,計(jì)算可得所求.

解答 解:(1)∵雙曲線x2-y2=1的離心率為2,
∴橢圓M的離心率為e=ca=22
∵橢圓M內(nèi)切于圓x2+y2=4,而圓的直徑為4,
即有2a=4,又b2=a2-c2,
解得a=2,b=c=2,
所求橢圓M的方程為y24+x22=1;
(2)橢圓M的上焦點(diǎn)為F102
由橢圓的定義得:|PF1|+|PF|=4,
即|PF|=4-|PF1|,
△AFP的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA||PF1|+4+23|AF1|+4+23=6+23,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).
即有在橢圓M上存在點(diǎn)P,使△AFP的周長(zhǎng)取得最大值6+23
直線AF1的方程為y=2,
{y=2y24+x22=1{x=1y=2{x=1y=2,
由點(diǎn)P在線段AF1的延長(zhǎng)線上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P12,
則△AFP的面積SAFP=12|AP||FF1|=12×3×22=32

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,考查三角形的周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,注意運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì),考查三角形的面積的計(jì)算,屬于中檔題.

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
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