Question

7．設(shè)橢圓M：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓x²+y²=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知$A（-2，\sqrt{2}）$，F(xiàn)是橢圓M的下焦點(diǎn)，在橢圓M上是否存在點(diǎn)P，使△AFP的周長最大？若存在，請求出△AFP周長的最大值，并求此時△AFP的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的離心率，可得橢圓的離心率，再由橢圓和圓的關(guān)系，以及a，b，c的關(guān)系，求得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意的定義，求得三角形AFP的周長，由兩點(diǎn)間線段最短可得周長的最小值，再由三角形的面積公式，計算可得所求．

解答 解：（1）∵雙曲線x²-y²=1的離心率為$\sqrt{2}$，
∴橢圓M的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵橢圓M內(nèi)切于圓x²+y²=4，而圓的直徑為4，
即有2a=4，又b²=a²-c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
所求橢圓M的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（2）橢圓M的上焦點(diǎn)為${F_1}（0，\sqrt{2}）$，
由橢圓的定義得：|PF₁|+|PF|=4，
即|PF|=4-|PF₁|，
△AFP的周長為$|PA|+|PF|+|AF|=|PA|-|P{F_1}|+4+2\sqrt{3}≤|A{F_1}|+4+2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF₁的延長線上時取等號．
即有在橢圓M上存在點(diǎn)P，使△AFP的周長取得最大值$6+2\sqrt{3}$，
直線AF₁的方程為$y=\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1}\end{array}}\right.解得：\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
由點(diǎn)P在線段AF₁的延長線上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為$P（1，\sqrt{2}）$，
則△AFP的面積${S_{△AFP}}=\frac{1}{2}|AP||F{F_1}|=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查三角形的周長的最值問題，注意運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，考查三角形的面積的計算，屬于中檔題．