分析 (1)求得雙曲線的離心率,可得橢圓的離心率,再由橢圓和圓的關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,求得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意的定義,求得三角形AFP的周長(zhǎng),由兩點(diǎn)間線段最短可得周長(zhǎng)的最小值,再由三角形的面積公式,計(jì)算可得所求.
解答 解:(1)∵雙曲線x2-y2=1的離心率為√2,
∴橢圓M的離心率為e=ca=√22,
∵橢圓M內(nèi)切于圓x2+y2=4,而圓的直徑為4,
即有2a=4,又b2=a2-c2,
解得a=2,b=c=√2,
所求橢圓M的方程為y24+x22=1;
(2)橢圓M的上焦點(diǎn)為F1(0,√2),
由橢圓的定義得:|PF1|+|PF|=4,
即|PF|=4-|PF1|,
△AFP的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|−|PF1|+4+2√3≤|AF1|+4+2√3=6+2√3,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).
即有在橢圓M上存在點(diǎn)P,使△AFP的周長(zhǎng)取得最大值6+2√3,
直線AF1的方程為y=√2,
由{y=√2y24+x22=1解得:{x=1y=√2或{x=−1y=√2,
由點(diǎn)P在線段AF1的延長(zhǎng)線上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,√2),
則△AFP的面積S△AFP=12|AP||FF1|=12×3×2√2=3√2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,考查三角形的周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,注意運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì),考查三角形的面積的計(jì)算,屬于中檔題.
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A. | 2031 | B. | 35 | C. | 815 | D. | 23 |
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A. | x1•x2>e | B. | 1<x1•x2<e | C. | 0<x1x2<1e | D. | 1e<x1x2<1 |
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,3) | D. | (3,4) |
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A. | 橢圓 | B. | 圓 | C. | 拋物線 | D. | 線段 |
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A. | 15 | B. | 16 | C. | 17 | D. | 18 |
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