分析 (1)求得雙曲線的離心率,可得橢圓的離心率,再由橢圓和圓的關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,求得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意的定義,求得三角形AFP的周長,由兩點(diǎn)間線段最短可得周長的最小值,再由三角形的面積公式,計算可得所求.
解答 解:(1)∵雙曲線x2-y2=1的離心率為$\sqrt{2}$,
∴橢圓M的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵橢圓M內(nèi)切于圓x2+y2=4,而圓的直徑為4,
即有2a=4,又b2=a2-c2,
解得a=2,b=c=$\sqrt{2}$,
所求橢圓M的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1;
(2)橢圓M的上焦點(diǎn)為${F_1}(0,\sqrt{2})$,
由橢圓的定義得:|PF1|+|PF|=4,
即|PF|=4-|PF1|,
△AFP的周長為$|PA|+|PF|+|AF|=|PA|-|P{F_1}|+4+2\sqrt{3}≤|A{F_1}|+4+2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1的延長線上時取等號.
即有在橢圓M上存在點(diǎn)P,使△AFP的周長取得最大值$6+2\sqrt{3}$,
直線AF1的方程為$y=\sqrt{2}$,
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1}\end{array}}\right.解得:\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$,
由點(diǎn)P在線段AF1的延長線上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為$P(1,\sqrt{2})$,
則△AFP的面積${S_{△AFP}}=\frac{1}{2}|AP||F{F_1}|=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,考查三角形的周長的最值問題,注意運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì),考查三角形的面積的計算,屬于中檔題.
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A. | $\frac{20}{31}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{8}{15}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x1•x2>e | B. | 1<x1•x2<e | C. | 0<x1x2<$\frac{1}{e}$ | D. | $\frac{1}{e}<{x_1}{x_2}$<1 |
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,3) | D. | (3,4) |
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A. | 橢圓 | B. | 圓 | C. | 拋物線 | D. | 線段 |
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A. | 15 | B. | 16 | C. | 17 | D. | 18 |
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