7.設(shè)橢圓M:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù),且內(nèi)切于圓x2+y2=4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)已知$A(-2,\sqrt{2})$,F(xiàn)是橢圓M的下焦點(diǎn),在橢圓M上是否存在點(diǎn)P,使△AFP的周長最大?若存在,請求出△AFP周長的最大值,并求此時△AFP的面積;若不存在,請說明理由.

分析 (1)求得雙曲線的離心率,可得橢圓的離心率,再由橢圓和圓的關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,求得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意的定義,求得三角形AFP的周長,由兩點(diǎn)間線段最短可得周長的最小值,再由三角形的面積公式,計算可得所求.

解答 解:(1)∵雙曲線x2-y2=1的離心率為$\sqrt{2}$,
∴橢圓M的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵橢圓M內(nèi)切于圓x2+y2=4,而圓的直徑為4,
即有2a=4,又b2=a2-c2
解得a=2,b=c=$\sqrt{2}$,
所求橢圓M的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1;
(2)橢圓M的上焦點(diǎn)為${F_1}(0,\sqrt{2})$,
由橢圓的定義得:|PF1|+|PF|=4,
即|PF|=4-|PF1|,
△AFP的周長為$|PA|+|PF|+|AF|=|PA|-|P{F_1}|+4+2\sqrt{3}≤|A{F_1}|+4+2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1的延長線上時取等號.
即有在橢圓M上存在點(diǎn)P,使△AFP的周長取得最大值$6+2\sqrt{3}$,
直線AF1的方程為$y=\sqrt{2}$,
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1}\end{array}}\right.解得:\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$,
由點(diǎn)P在線段AF1的延長線上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為$P(1,\sqrt{2})$,
則△AFP的面積${S_{△AFP}}=\frac{1}{2}|AP||F{F_1}|=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,考查三角形的周長的最值問題,注意運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì),考查三角形的面積的計算,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow,\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$,($\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$)•($\overrightarrow{c}-\overrightarrow$)=0,則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為$\sqrt{3}$+1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件,可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為( 。
A.$\frac{20}{31}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{8}{15}$D.$\frac{2}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.函數(shù) f(x)=ex+a,g(x)=|ln(-x)|,若x1,x2都滿足f(x)=g(x),則( 。
A.x1•x2>eB.1<x1•x2<eC.0<x1x2<$\frac{1}{e}$D.$\frac{1}{e}<{x_1}{x_2}$<1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若$f(a)=f(b)=2f(\frac{a+b}{2})(0<a<b)$,則b所在區(qū)間為( 。
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),過左焦點(diǎn)F1(-1,0)的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且△F2MN的周長為8;過點(diǎn)P(4,0)且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍;
(Ⅲ)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),P是橢圓上非x軸上的一點(diǎn),△PF1F2中,若F2(右焦點(diǎn))關(guān)于∠F1PF2的外角平分線的對稱點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡是(  )
A.橢圓B.C.拋物線D.線段

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,3),$\overrightarrow$=(-1,2),則(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$)•$\overrightarrow$=(  )
A.15B.16C.17D.18

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù),滿足條件y=f(x+1)是偶函數(shù),且當(dāng)x≥1時,f(x)=($\frac{1}{2}$)x-1,則f($\frac{2}{3}$),f($\frac{3}{2}$),f($\frac{1}{3}$)的從大到小關(guān)系是f($\frac{2}{3}$)>f($\frac{3}{2}$)>f($\frac{1}{3}$).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案