Question

已知數(shù)列滿足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}的前n和S_n；
（Ⅲ）求證．

Answer 1

【答案】分析：（ I）由n=1，可求，由已知可得n≥2時(shí)，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=，兩式相減可求a_n
（II）由（I）可得=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減可求和
（III）由（II）可知，=（n-1）•（1+1）ⁿ，只要證明S_n-2＞0即可
解答：解：（ I）n=1時(shí)，
∵a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=
∴n≥2時(shí)，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=
兩式相減可得，2^n-1a_n=
∴
（II）解：∵=n•2ⁿ
∴
2
兩式相減可得，-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=
∴
（III）證明：由（II）可知，=（n-1）•（1+1）ⁿ
=（n-1）（）≥（n-1）（）=（n-1）（n+3）=n²+2n-3
∴
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和及利用組合數(shù)的性質(zhì)證明不等式，注意放縮法在證明中的應(yīng)用．