Question

已知函數(shù)．
（I）求；
（II）已知數(shù)列滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得結(jié)論；
（II）證明{}是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明，即可得到結(jié)論．
解答：（I）解：因?yàn)镕（x）+F（1-x）==3
所以設(shè)（1）
（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由a_n+1=F（a_n），兩邊同減去1，得a_n+1-1=
所以-=2，
所以{}是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以
所以---------------（10分）
（III）證明：因?yàn)椋?n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1）
所以
所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞
所以a₁a₂a₃…a_n＞．----------------------------（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．