Question

已知函數(shù)．

（I）求；

（II）已知數(shù)列滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（Ⅲ） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer 1

考點：

數(shù)列與函數(shù)的綜合．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

（I）證明F（x）+F（1﹣x）=3，利用倒序相加法，可得結論；

（II）證明{}是以2為公差以為首項的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（Ⅲ）證明，即可得到結論．

解答：

（I）解：因為F（x）+F（1﹣x）==3

所以設（1）

（2）

（1）+（2）得：2S=3×2012

所以S=3018﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

（II）解：由a_n+1=F（a_n），兩邊同減去1，得a_n+1﹣1=

所以﹣=2，

所以{}是以2為公差以為首項的等差數(shù)列，

所以

所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

（III）證明：因為（2n）²＞（2n）²﹣1=（2n﹣1）（2n+1）

所以

所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞

所以a₁a₂a₃…a_n＞．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

點評：

本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．