Question

【題目】已知函數(shù)(其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) .

(1)若對(duì)任意,都有,求的取值范圍;

(2)設(shè)()的最小值為,當(dāng)時(shí),證明:.

Answer 1

【答案】(1) . (2)證明見解析

【解析】

（1）先求得的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成三種情況分類討論，結(jié)合，求得的取值范圍.

（2）利用的導(dǎo)數(shù)求得的最小值.利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得的最大值為零，由此證得.利用差比較法、分析法，即證，即證.用常用不等式證得上式成立.從而證得不等式成立.

(1)的定義域?yàn)?/span>,,

(i)若時(shí),當(dāng)時(shí),,在上遞增,且時(shí),,所以不恒成立,故不符合條件;

(ii)若時(shí),,所以符合條件;

(iii)若時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),,在上遞減;當(dāng)時(shí), ,在上遞增,

所以,即,得,

綜上, 的取值范圍是.

(2) 的定義域?yàn)?/span>,,得,于是

當(dāng)時(shí),,遞減;當(dāng)時(shí),,遞增,

所以,

,得,當(dāng)時(shí),, 遞增;當(dāng)時(shí),,遞減,所以,

,等價(jià)于,等價(jià)于,

由(1)知時(shí),得,在時(shí),得,用替代,得,用替代,得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)), 取，顯然成立

綜上知,.