【題目】已知函數(shù)(其中,是自然對數(shù)的底數(shù)) .

(1)若對任意,都有,的取值范圍;

(2)設(shè)()的最小值為,,證明:.

【答案】(1) . (2)證明見解析

【解析】

1)先求得的導(dǎo)函數(shù),對分成三種情況分類討論,結(jié)合,求得的取值范圍.

2)利用的導(dǎo)數(shù)求得的最小值.利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求得的最大值為零,由此證得.利用差比較法、分析法,即證,即證.用常用不等式證得上式成立.從而證得不等式成立.

(1)的定義域為,,

(i),,,上遞增,,,所以成立,不符合條件;

(ii),,所以符合條件;

(iii),,,,,上遞減;, ,上遞增,

所以,,,

綜上, 的取值范圍是.

(2) 的定義域為,,,于是

,,遞減;,,遞增,

所以,

,,,, 遞增;,,遞減,所以,

,等價于,等價于,

(1),,,,替代,,替代,(當且僅當時取等號), ,顯然成立

綜上知,.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左.右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點.證明: 的定值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:①逐份檢驗,列需要檢驗次;②混合檢驗,將其)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了,如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這份再逐份檢驗,此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗的方式,求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.

2)現(xiàn)取其中)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

(i)運用概率統(tǒng)計的知識,若,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(ii)若,且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):,,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為,點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上.

1)求橢圓的方程;

2)如圖,過點的直線與橢圓交于兩個不同的點(點在點的上方),試求面積的最大值;

3)若直線經(jīng)過點,且與橢圓交于兩個不同的點,是否存在直線(其中),使得到直線的距離滿足恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,

有零點 m 的取值范圍;

確定 m 的取值范圍使得有兩個相異實根.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的上、下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、B1、AF,延長B1FAB2交于點P,若∠B1PA為鈍角,則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)當時,證明: (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當時,記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,左頂點為,左焦點為,點在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點,直線, 分別與軸交于點,

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.

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