設函數(shù)f(x)=x-
x
．
（1）求使得f（x）＞0成立的x的取值范圍；
（2）判斷f（x）在區(qū)間(
1
4
，+∞)上的單調性，并用定義加以證明．
分析：（1）將函數(shù)代入，解不等式，即可求得使得f（x）＞0成立的x的取值范圍；
（2）f（x）在區(qū)間(
1
4
，+∞)上單調遞增，再利用定義加以證明．
解答：（1）解：f（x）＞0，即x-
x
＞0，即
x
(
x
-1)＞0
∴
x
＞1，∴x＞1
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（1，+∞）；
（2）解：f（x）在區(qū)間(
1
4
，+∞)上單調遞增，
證明：設x1＞x2＞
1
4
，則f（x1）-f（x2）=x1-
x1
-x2+
x2
=(x1-x2)(1-
1
x1
+
x2
)
∵x1＞x2＞
1
4
，∴x1-x2＞0，1-
1
x1
+
x2
＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在區(qū)間(
1
4
，+∞)上單調遞增．
點評：本題重點考查解不等式，考查函數(shù)的單調性的判斷與證明，利用定義證明函數(shù)單調性的步驟為：取值、作差、變形、定號下結論．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數(shù)．現(xiàn)給出下列三個命題：
①函數(shù)f(x)=(
12
)x為R上的l高調函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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