【題目】在四棱錐中, , , , , 是棱的中點(diǎn),且.

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)余弦值為.

【解析】試題分析:(1證明線面垂直,先找線線垂直, , ,所以,

,再由得到線面垂直;(2)由空間向量坐標(biāo)系的方法,得到兩個(gè)半平面的法向量,由向量的夾角公式得到二面角的余弦值.

解析:

(Ⅰ)取中點(diǎn),連接

由已知, ,故為平行四邊形.

所以,因?yàn)?/span>,故.

,所以,

,所以.

由已知可求, ,所以,所以.

,所以.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,又,

以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得 , , .

為棱的中點(diǎn),得.

向量 , .

由點(diǎn)在棱上,設(shè) .

.

,得

因此, ,解得.

.

設(shè)為平面的法向量,則

不妨令,可得為平面的一個(gè)法向量.

取平面的法向量,

.

易知,二面角是銳角,所以其余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2018屆江西省南昌市高三第一輪已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,且

Ⅰ)求;

Ⅱ)若邊上的中線, , ,求的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中, , 平面,在平行四邊形中, ,

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)若曲線為參數(shù))與曲線相交于兩點(diǎn),求

(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某超市在2017年五一正式開(kāi)業(yè),開(kāi)業(yè)期間舉行開(kāi)業(yè)大酬賓活動(dòng),規(guī)定:一次購(gòu)買總額在區(qū)間內(nèi)者可以參與一次抽獎(jiǎng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)參與一次抽獎(jiǎng)的顧客每次購(gòu)買金額分布情況如下

1求參與一次抽獎(jiǎng)的顧客購(gòu)買金額的平均數(shù)與中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表結(jié)果保留到整數(shù));

2若根據(jù)超市的經(jīng)營(yíng)規(guī)律,購(gòu)買金額與平均利潤(rùn)有以下四組數(shù)據(jù)

試根據(jù)所給數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程,并根據(jù)1)中計(jì)算的結(jié)果估計(jì)超市對(duì)每位顧客所得的利潤(rùn).

參考公式 .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長(zhǎng).該地一建設(shè)銀行統(tǒng)計(jì)連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款年底余額得到下表:

年份

儲(chǔ)蓄存款

(千億元)

為便于計(jì)算,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理 ,得到下表:

時(shí)間

儲(chǔ)蓄存款

關(guān)于的線性回歸方程;

通過(guò)中的方程,求出關(guān)于的回歸方程;

用所求回歸方程預(yù)測(cè)到年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?

附:線性回歸方程,其中, .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知長(zhǎng)方體,直線與平面所成角為垂直于點(diǎn)的中點(diǎn).

(1)求直線與平面所成角的正弦值;

(2)線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線相交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】有甲、乙兩個(gè)桔柚(球形水果)種植基地,已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)(單位:毫米,以下同),按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機(jī)抽取500個(gè),測(cè)量這些桔柚的直徑,所得數(shù)據(jù)整理如下:

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”?

(2)求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本平均數(shù) (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(3)記甲基地直徑在范圍內(nèi)的五個(gè)桔柚分別為,現(xiàn)從中任取二個(gè),求含桔柚的概率.

附: , .

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