Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

1

(n+1) n +n n+1

（n∈N^*），其前n項和為S_n，則在數(shù)列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，有理數(shù)項的項數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：把a_n=

1

(n+1) n +n n+1

分母有理化，可得a_n=

n

n

-

n+1

n+1

，得到Sn=1-

n+1

n+1

，在數(shù)列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，只有n=3，8，15，…，1935，為有理項．即可得出．

解答： 解：∵a_n=

1

(n+1) n +n n+1

=

(n+1) n -n n+1

n(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

，
∴Sn=1-

n+1

n+1

，
在數(shù)列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，只有n=3，8，15，…，1935，為有理項．
因此共43項．
故答案為：43．

點評：本題考查了分母有理化、“裂項求和”、有理項等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．