Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到點F的距離與到直線l的距離相等．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線y=

3

x+b與曲線C交于A，B兩點，若曲線C上存在點D使得四邊形FABD為平行四邊形，求b的值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，可求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）解法一：直線與拋物線聯(lián)立，解得D點的橫坐標，計算出|FD|，|AB|，利用FABD為平行四邊形，所以|AB|=|FD|，建立方程，即可求b的值；解法二：先求出D的坐標，再分類討論，利用韋達定理，結(jié)合四邊形是平行四邊形，所以

FA

+

FD

=

FB

，即可求b的值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，動點P的軌跡C是以F（1，0）為焦點，l：x=-1為準線的拋物線，
設(shè)軌跡C的方程為y²=2px（p＞0），則p=2所以動點P的軌跡C的方程為 y²=4x，
（Ⅱ）解法一：因為F（1，0），故直線FD的方程為y=

3

(x-1)，
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) y2=4x

消元得：3x²-10x+3=0，解得D點的橫坐標為x=3或x=

1

3

．
由拋物線定義知：|FD|=x+

p

2

=4或

4

3

，
又由

y= 3 x+b y2=4x

消元得：

3

y2-4y+4b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=16-16

3

b＞0且

y1+y2= 4 3 y1•y2= 4b 3

  
所以|AB|=

1+3

•|y₁-y₂|=

8

3

•

1- 3 b

，
因為FABD為平行四邊形，所以|AB|=|FD|，
所以

8

3

•

1- 3 b

=4或

4

3

，
解得b=-

5 3

12

或

3

4

，代入△＞0成立．
解法二：因為F（1，0），故直線FD的方程為y=

3

(x-1)，
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) y2=4x

消元得：3x²-10x+3=0，解得x=3或x=

1

3

，
故點D(3，2

3

)或D(

1

3

，-

2 3

3

)，
當D(3，2

3

)時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y= 3 x+b y2=4x

消元得：3x2+(2

3

b-4)x+b2=0（*）
根據(jù)韋達定理有x1+x2=-

2 3 b-4

3

①，x1•x2=

b2

3

②，
又因為四邊形是平行四邊形，所以

FA

+

FD

=

FB

，將坐標代入有x₂=x₁+2③，
代入①有x1=

- 3 b-1

3

，x2=

- 3 b+5

3

，
代入②有

- 3 b-1

3

•

- 3 b+5

3

=

b2

3

，整理得b=-

5 3

12

此時（*）的判別式△＞0，符合題意
當D(

1

3

，-

2 3

3

)時，同理可解得b=

3

4

．

點評：定義法是求圓錐曲線方程的重要方法，解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，通常聯(lián)立方程．