Question

對于任意實數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，將問題轉(zhuǎn)化為|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，利用絕對值三角不等式可求得(

|a+b|+|a-b|

|a|

)min=2，從而去解不等式|x-1|≤2即可．

解答： 解：由題知，|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，故|x-1|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a-b）≥0 時取等號，
∴(

|a+b|+|a-b|

|a|

)min=2，
∴x的范圍即為不等式|x-1|≤2的解．
由|x-1|≤2得：-2≤x-1≤2，
解得：-1≤x≤3，
故答案為[-1，3]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，將問題轉(zhuǎn)化為|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，屬于中檔題．