Question

已知拋物線y²=2px經過點M（2，-），橢圓=1的右焦點恰為拋物線的焦點，且橢圓的離心率為．
（1）求拋物線與橢圓的方程；
（2）若P為橢圓上一個動點，Q為過點P且垂直于x軸的直線上一點，=λ（λ≠0），試求點Q的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線y²=2px經過點M（2，-），確定拋物線方程，利用橢圓=1的右焦點恰為拋物線的焦點，且橢圓的離心率為，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）設出P，Q的坐標，表示出=λ（λ≠0），分類討論，即可得出點Q的軌跡．
解答：解：（1）∵拋物線y²=2px經過點M（2，-），
∴8=4p，∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x，其焦點為F（1，0），∴c=1
∵橢圓的離心率為，
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的方程為；
（2）設Q（x，y），x∈[-2，2]，設P（x，y），則
∴=
∵=λ（λ≠0），
∴
∴，x∈[-2，2]，
①λ²=，即時，點Q的軌跡方程為，x∈[-2，2]，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②λ²＜，即時，軌跡表示實軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[-2，2]的部分；
③λ²＞，即時，軌跡表示長軸在x軸上的橢圓滿足x∈[-2，2]的部分．
點評：本題考查拋物線、橢圓的標準方程，考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．