【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+…+an , B(n)=a2+a3+…+an+1 , C(n)=a3+a4+…+an+2 , n=1,2,….
(1)若a1=1,a2=5,且對任意n∈N* , 三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N* , 三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.

【答案】
(1)

解:∵對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,

∴B(n)﹣A(n)=C(n)﹣B(n),

即an+1﹣a1=an+2﹣a2,亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4.

故數(shù)列{an}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,于是an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3


(2)

證明:(必要性):若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,對任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是

= = =q,

= = =q,

= =q,

∴三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列;

(充分性):若對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,則

B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),

于是C(n)﹣B(n)=q[B(n)﹣A(n)],即an+2﹣a2=q(an+1﹣a1),亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1

由n=1時,B(1)=qA(1),即a2=qa1,從而an+2﹣qan+1=0.

∵an>0,

= =q.故數(shù)列{an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列.

綜上所述,數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列


【解析】(1)由于對任意n∈N* , 三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,可得到B(n)﹣A(n)=C(n)﹣B(n),即an+1﹣a1=an+2﹣a2 , 整理即可得數(shù)列{an}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,從而可得an . (2)必要性:由數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,可證得即 = =q,即必要性成立;充分性:若對任意n∈N* , 三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1 . 由n=1時,B(1)=qA(1),即a2=qa1 , 從而an+2﹣qan+1=0,即充分性成立,于是結(jié)論得證.
【考點精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和等差數(shù)列的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能正確解答此題.

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1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量;

2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列;

3)從該流水線上任取件產(chǎn)品,求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率.

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A. 乙甲丙丁 B. 甲丁乙丙 C. 丙甲丁乙 D. 甲丙乙丁

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一次性購物量

1至4件

5 至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顧客數(shù)(人)

x

30

25

y

10

結(jié)算時間(分鐘/人)

1

1.5

2

2.5

3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)

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【題目】某共享單車企業(yè)在城市就“一天中一輛單車的平均成本與租用單車數(shù)量之間的關(guān)系”進行了調(diào)查,并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設(shè)計了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個擬合函數(shù):

模型甲:,模型乙:.

(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計算結(jié)果精確到0.1元)(備注:,稱為相應(yīng)于點的殘差);

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.

(2)這家企業(yè)在4城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求,于是該企業(yè)決定增加單車投放量.根據(jù)市場調(diào)查,市場投放量達(dá)到1萬輛時,平均每輛單車一天能收入7.2元;市場投放量達(dá)到1.2萬輛時,平均每輛單車一天能收入6.8元.若按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,問該企業(yè)投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤?請說明理由.(利潤收入成本)

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(1)類比上述有關(guān)結(jié)論,猜想過橢圓上一點的切線方程 (不要求證明);

(2)若過橢圓外一點不在坐標(biāo)軸上)作兩直線,與橢圓相切于兩點,求證:為定值.

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