【題目】已知圓和定點(diǎn)
,由圓
外一點(diǎn)
向圓
引切線
,切點(diǎn)為
,且滿足
.
(1)求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系;
(2)若以為圓心的圓
與圓
有公共點(diǎn),試求圓
的半徑最小時圓
的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)的位置發(fā)生變化時,直線
是否過定點(diǎn),如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,說明理由.
【答案】(1)(2)
(3)過定點(diǎn)
【解析】
試題分析:(1)由已知Q為切點(diǎn),可知PQ⊥OQ,結(jié)合勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2及已知|PQ|=|PA|,利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a,b之間的關(guān)系;(2)設(shè)圓P的半徑為R,由圓P與圓O有公共點(diǎn),且半徑最小,可知R=OP,利用兩點(diǎn)間的距離,結(jié)合(1)中a,b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值,進(jìn)而可求圓的方程;法二:圓P與圓O有公共點(diǎn),圓P半徑最小時為與圓O外切的情形,而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1,圓心為P過原點(diǎn)與l垂直的直線l'與l的交點(diǎn)P0,可求解;(3)首先由圓的方程求得直線方程,將其變形可求得所過定點(diǎn)
試題解析:(1)連為切點(diǎn),
,由勾股定理有
.又由已知
,故
.
即:.
化簡得實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系為:
.
(2)解法1:設(shè)圓的半徑為
,
圓
與圓
有公共點(diǎn),圓
的半徑為1,
即
且
.
而,故當(dāng)
時,
此時, ,
.得半徑取最小值時圓
的方程為
.
解法2: 圓與圓
有公共點(diǎn),圓
半徑最小時為與圓
外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心
到直線
的距離減去1,圓心
為過原點(diǎn)與
垂直的直線
與
的交點(diǎn)
.
又 直線
的方程為
解方程組,得
.即
所以,所求圓方程為.
(3)
化簡得
,同理
所以,直線MQ的方程為
,代入上式得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)
(1)求證:ACBC
;
(2)求證:AC//平面CDB
;
(3)求二面角B-DC-B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移
個單位,得到
的圖象,求直線
與
函數(shù)的圖象在
內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁,為了緩解交通壓力,特修一條專用鐵路,用一列火車作為交通車,已知該車每次拖4節(jié)車廂,一日能來回16次,如果每次拖7節(jié)車廂,則每日能來回10次.
(1)若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù),求此一次函數(shù)解析式:
(2)在(1)的條件下,每節(jié)車廂能載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運(yùn)營人數(shù)最多?并求出每天最多運(yùn)營人數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表提供了某公司技術(shù)升級后生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量
(噸)與相應(yīng)的成本
(萬元)的幾組對照數(shù)據(jù):
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出對
的回歸直線方程;
(3)已知該公司技術(shù)升級前生產(chǎn)100噸產(chǎn)品的成本為90萬元.試根據(jù)(2)求出的回歸直線方程,預(yù)測技術(shù)升級后生產(chǎn)100噸
產(chǎn)品的成本比技術(shù)升級前約降低多少萬元?
(附: ,
,其中
為樣本平均值)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,二次函數(shù)
,關(guān)于
的不等式
的解集為
,其中
為非零常數(shù),設(shè)
.
(1)求的值;
(2)若存在一條與軸垂直的直線和函數(shù)
的圖象相切,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)
滿足
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時,函數(shù)
存在極值?并求出相應(yīng)的極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:與圓O:
相交于A,B兩個不同的點(diǎn),且A
,B
.
(1)當(dāng)面積最大時,求m的取值,并求出
的長度.
(2)判斷是否為定值;若是,求出定值的大小;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以
軸正半軸為始邊的銳角
和鈍角
的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)
,若點(diǎn)
的橫坐標(biāo)是
,點(diǎn)
的縱坐標(biāo)是
.
(1)求的值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有8名奧運(yùn)會志愿者,其中志愿者通曉日語,
通曉俄語,
通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各
名,組成一個小組.
(1)求被選中的概率;
(2)求和
不全被選中的概率.
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