Question

【題目】已知圓和定點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，且滿足．

（1）求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系；

（2）若以為圓心的圓與圓有公共點(diǎn)，試求圓的半徑最小時圓的方程；

（3）當(dāng)點(diǎn)的位置發(fā)生變化時，直線是否過定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）過定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）由已知Q為切點(diǎn)，可知PQ⊥OQ，結(jié)合勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2及已知|PQ|=|PA|，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a，b之間的關(guān)系；（2）設(shè)圓P的半徑為R，由圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，可知R=OP，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合（1）中a，b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值，進(jìn)而可求圓的方程；法二：圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓P半徑最小時為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心為P過原點(diǎn)與l垂直的直線l'與l的交點(diǎn)P0，可求解；（3）首先由圓的方程求得直線方程，將其變形可求得所過定點(diǎn)

試題解析：（1）連為切點(diǎn)，，由勾股定理有.又由已知，故.

即：.

化簡得實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系為：.

（2）解法1：設(shè)圓的半徑為，

圓與圓有公共點(diǎn)，圓的半徑為1，

即且.

而，故當(dāng)時，

此時, ，.得半徑取最小值時圓的方程為．

解法2： 圓與圓有公共點(diǎn)，圓半徑最小時為與圓外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點(diǎn)與垂直的直線與的交點(diǎn) .

又 直線的方程為

解方程組，得.即

所以，所求圓方程為.

（3）

化簡得，同理

所以，直線MQ的方程為 ，代入上式得