Question

【題目】設函數(shù)，，其中a，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在極值點，且，其中，求證：；

（3）設，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）求出的導數(shù)，討論時，在R上遞增；當時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；

（2）由條件判斷出，且，由求出，分別代入解析式化簡，，化簡整理后可得證；

（3）設在區(qū)間上的最大值M，根據(jù)極值點與區(qū)間的關系對a分三種情況討論，運用單調(diào)性和前兩問的結(jié)論，求出在區(qū)間上的取值范圍，利用a的范圍化簡整理后求出M，再利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立.

（1）若，則，

分兩種情況討論：

①、當時，有恒成立，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②、當時，令，解得或，

當或時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù)，

故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；

（2）若存在極值點，則必有，且，

由題意可得，，則，

進而，

又，

由題意及（1）可得：存在唯一的實數(shù)，滿足，其中，

則有，故有；

（3）設在區(qū)間上的最大值M，表示x、y兩個數(shù)的最大值，

下面分三種情況討論：

①當時，，

由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，所以。

②當時，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，

③當時，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區(qū)間上的取值范圍是，

因此

，

綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于.