Question

已知正△ABC的邊長(zhǎng)為3，P₁是邊AB上的一點(diǎn)且BP₁=1，從P₁向BC作垂線(xiàn)，垂足為Q₁，從Q₁向CA作垂線(xiàn)，垂足為R₁，從R₁向AB作垂線(xiàn)，垂足為P₂．再?gòu)腜₂重復(fù)同樣作法，依次得到點(diǎn)Q₂，R₂，P₃，Q₃，R₃，…P_n，Q_n，R_n，…，設(shè)BP_n=a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a_n+1與a_n關(guān)系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（Ⅰ）利用多個(gè)直角三角形中的邊角關(guān)系，求出邊BP_n與BP_n+1 的關(guān)系，即a_n+1與a_n關(guān)系；（Ⅱ）利用已得的遞推關(guān)系，構(gòu)造新的等比數(shù)列，通過(guò)新數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列{a_n}分組求和，其中部分?jǐn)?shù)列用錯(cuò)位相減法求和，得到本題的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：BP_n=a_n，BP_n+1=a_n+1，
則BQn=BPncos60°=

1

2

an，
QnC=3-

1

2

an，
CRn=QnCcos60°=

1

2

(3-

1

2

an)，
ARn=3-CRn=

3

2

+

1

4

an，
APn+1=ARncos60°=

1

2

ARn=

3

4

+

1

8

an，
∴BPn+1=3-APn+1=

9

4

-

1

8

an，
即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)．
（Ⅱ）由即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)，得到：an+1-2=-

1

8

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=-1為首項(xiàng)，公比為-

1

8

的等比數(shù)列．
∴an-2=-(-

1

8

)n-1，即an=2-(-

1

8

)n-1 (n∈N*)．
∴nan=2n-n(-

1

8

)n-1，則
Sn=2(1+2+3+…+n)-[1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1]，
令Tn=1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1，
-

1

8

Tn=1•(-

1

8

)1+2•(-

1

8

)2+…+n•(-

1

8

)n，
兩式相減得：

9

8

Tn=1+(-

1

8

)+(-

1

8

)2+…+(-

1

8

)n-1-n(-

1

8

)n=

1-(- 1 8 )n

1-(- 1 8 )

-n(-

1

8

)n，
∴Tn=

64+(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．
∴Sn=n(n+1)-

(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解三角形、構(gòu)造新數(shù)列、分組求和法、等差數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和等知識(shí)點(diǎn)，本題的思維質(zhì)量高，計(jì)算量較大，屬于難題．