已知a，b，c均為正數(shù)
（1）證明：a2+b2+c2+（
1
a
+
1
b
+
1
c
）2≥6
3
，并確定a，b，c如何取值時等號成立；
（2）若a+b+c=1，求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值．
考點：一般形式的柯西不等式,不等式的證明
專題：選作題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）利用基本不等式可以證明結(jié)論；
（2）利用柯西不等式可求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值．
解答： （1）證明：a2+b2+c2+（
1
a
+
1
b
+
1
c
）2≥3(abc)
2
3
+9(abc)-
2
3
≥6
3

取等條件a=b=c=
43
；
（2）解：（
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
）2≤（1+1+1）[（
3a+1
）2+（
3b+1
）2+（
3c+1
）]2=18
所以
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值為3
2
，取等條件a=b=c=
1
3
．
點評：本題主要考查了柯西不等式的內(nèi)容與形式，掌握根據(jù)柯西不等式的內(nèi)容是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a=1時，對于在（0，1）中的任一個常數(shù)m，是否存在正數(shù)x0使得f（x0）＞
m
2
g（x）成立？如果存在，求出符合條件的一個x0；否則請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=aex+b，g（x）=ax2-2x-2（其中a，b∈R，a≠0），設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1，解關(guān)于x的不等式F（x）＞0；
（Ⅱ）當a＞0，b=0時，求函數(shù)F（cos2x）的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在區(qū)間[m，n]（m＞2），使得函數(shù)F（x）在[m，n]上的值域是[
m
2
，
n
2
]？試著說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，菱形OABC的兩個頂點為O（0，0），A（1，1），且
OA
•
OC
=1，則
AB
•
AC
等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B＜
π
2
；（提示：可以利用反證法證明）
（Ⅱ）設(shè)x＞0，y＞0，求證：（x2+y2） 
1
2
＞（x3+y3） 
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若向量
a
，
b
是單位向量，則向量
a
-
b
在
a
+
b
方向上的投影是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正△ABC的邊長為3，P1是邊AB上的一點且BP1=1，從P1向BC作垂線，垂足為Q1，從Q1向CA作垂線，垂足為R1，從R1向AB作垂線，垂足為P2．再從P2重復(fù)同樣作法，依次得到點Q2，R2，P3，Q3，R3，…Pn，Qn，Rn，…，設(shè)BPn=an（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求an+1與an關(guān)系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{nan}前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O，A，B是平面上三個不同點，動點P滿足|
PA
|=|
PB
|，且|
OA
|=3，|
OB
|=1，則
OP
•（
OA
-
OB
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集R，f（x）=
x，0≤x≤1
(
1
2
)x-1，-1≤x＜0
對于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案