【題目】已知函數.
(1)若,求
的零點個數;
(2)若,
,證明:
,
.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)將a的值代入f(x),再求導得,在定義域內討論函數單調性,再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數;(2)把a的值代入f(x),將
整理化簡為
,即證明該不等式在
上恒成立,構造新的函數
,利用導數可知其在定義域上的最小值,構造函數
,由導數可知其定義域上的最大值,二者比較大小,即得證。
(1)解:因為,所以
.
令,得
或
;令
,得
,
所以在
,
上單調遞增,在
上單調遞減,
而,
,
,
所以的零點個數為1.
(2)證明:因為,從而
.
又因為,
所以要證,
恒成立,
即證,
恒成立,
即證,
恒成立.
設,則
,
當時,
,
單調遞增;
當時,
,
單調遞減.
所以.
設,則
,
當時,
,
單調遞增;
當時,
,
單調遞減.
所以,所以
,
所以,
恒成立,
即,
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設,
分別是橢圓
的左,右焦點,
兩點分別是橢圓
的上,下頂點,
是等腰直角三角形,延長
交橢圓
于
點,且
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點是橢圓
上異于
的動點,直線
與直
分別相交于
兩點,點
,求證:
的外接圓恒過原點
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】函數圖象上不同兩點
,
,
,
處的切線的斜率分別是
,
,規(guī)定
叫曲線
在點
與點
之間的“彎曲度”,給出以下命題:
(1)函數圖象上兩點
、
的橫坐標分別為1,2,則
;
(2)存在這樣的函數,圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數;
(3)設點、
是拋物線,
上不同的兩點,則
;
(4)設曲線上不同兩點
,
,
,
,且
,若
恒成立,則實數
的取值范圍是
;
以上正確命題的序號為__(寫出所有正確的)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數,不等式
的解集有且只有一個元素,設數列
的前
項和
.
(1)求數列的通項公式;
(2)若數列滿足
,求數列
的前
項和
.
(3)設各項均不為0的數列中,滿足
的正整數
的個數稱為這個數列
的變號數,令
,求數列
的變號數.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知,點
是圓
上一動點,動點
滿足
,點
在直線
上,且
.
(1)求點的軌跡
的標準方程;
(2)已知點在直線
上,過點
作曲線
的兩條切線,切點分別為
,記點
到直線
的距離分別為
,求
的最大值,并求出此時
點的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學生進行了一次安全意識測試,根據測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現隨機抽取部分學生的答卷,統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
頻數 | 6 | 24 |
(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數;
(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;
(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求
的數學期望
.
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