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【題目】已知函數.

（1）若，求的零點個數；

（2）若，，證明：，.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內討論函數單調性，再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構造新的函數，利用導數可知其在定義域上的最小值，構造函數，由導數可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。

（1）解：因為，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，

而，，，

所以的零點個數為1.

（2）證明：因為，從而.

又因為，

所以要證，恒成立，

即證，恒成立，

即證，恒成立.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.

練習冊系列答案
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以上正確命題的序號為__（寫出所有正確的）

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等級

不合格

合格

得分

頻數

6

24

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數；

（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數學期望．

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