【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）若，，證明：，.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內討論函數(shù)單調性，再由函數(shù)的最小值正負來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)可知其在定義域上的最小值，構造函數(shù)，由導數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。

（1）解：因為，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，

而，，，

所以的零點個數(shù)為1.

（2）證明：因為，從而.

又因為，

所以要證，恒成立，

即證，恒成立，

即證，恒成立.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.

練習冊系列答案
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【題目】設，分別是橢圓的左，右焦點，兩點分別是橢圓的上，下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上異于的動點，直線與直分別相交于兩點，點，求證：的外接圓恒過原點.

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（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)，當且，求證：.

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【題目】函數(shù)圖象上不同兩點，，，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定叫曲線在點與點之間的“彎曲度”，給出以下命題：

（1）函數(shù)圖象上兩點、的橫坐標分別為1，2，則；

（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；

（3）設點、是拋物線，上不同的兩點，則；

（4）設曲線上不同兩點，，，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是；

以上正確命題的序號為__（寫出所有正確的）

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【題目】已知二次函數(shù)，不等式的解集有且只有一個元素，設數(shù)列的前項和.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

（3）設各項均不為0的數(shù)列中，滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令，求數(shù)列的變號數(shù).

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【題目】若執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的值為3，則判斷框中應填入的條件是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知，點是圓上一動點，動點滿足，點在直線上，且.

（1）求點的軌跡的標準方程；

（2）已知點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記點到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時點的坐標.

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【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望．

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【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

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