Question

已知

a

=(

3

cos

x

2

，2cos

x

2

)，

b

=(2cos

x

2

，-sin

x

2

)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）設(shè)θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標(biāo)表示，計算

a

•

b

，然后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，變形后再利用兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，由f(θ)=

3

+1代入后即可求出cos（θ+

π

6

）的值，由θ的范圍求出θ+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出θ的度數(shù)；
（2）由C為三角形的內(nèi)角根據(jù)（2）θ的度數(shù)求出C的度數(shù)，進而求出sinC的值，利用三角形的面積公式S=

1

2

abcosC，由S和cosC的值表示出ab的值，再由c與cosC的值，利用余弦定理表示出a²+b²的值，兩者聯(lián)立即可求出a與b的值，最后利用正弦定理化簡所求的式子，得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，把a與b的值代入即可求出值．

解答：解：（1）根據(jù)題意化簡得：f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

（3分）
由f（θ）=2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1，得cos(θ+

π

6

)=

1

2

，（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

(k∈Z)，
因為θ∈[-

π

2

， 

π

2

]，所以θ=-

π

2

或

π

6

；（7分）
（2）因為C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因為△ABC的面積為

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

，（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變形，三角形的面積公式，以及正弦、余弦定理，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．