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已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(
3
cosx，-
1
2
)，函數f(x)=
m
2+
m
•
n
-2．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）已知a、b、c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，且a，b，c成等比數列，角B為銳角，且f（B）=1，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
分析：（Ⅰ）把給出的向量的坐標代入函數解析式，化簡整理后得到f(x)=sin(2x-
π
6
)，直接由2x-
π
6
=2kπ+
π
2
，k∈Z即可得到使函數取得最大值1的x的取值集合；
（Ⅱ）由B為銳角，利用f（B）=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比數列得到sin2B=sinAsinC，代入化簡后即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=
m
2+
m
•
n
-2=(
m
+
n
)•
m
-2
=(sinx+
3
cosx，-
3
2
)•(sinx，-1)-2
=sin2x+
3
sinxcosx-
1
2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)．
故f（x）max=1，此時2x-
π
6
=2kπ+
π
2
，k∈Z，得x=kπ+
π
3
，k∈Z．
所以取得最大值的x的集合為{x|x=kπ+
π
3
，k∈Z}．
（Ⅱ）由f（B）=sin(2B-
π
6
)=1，又∵0＜B＜
π
2
，∴-
π
6
＜2B-
π
6
＜
5
6
π．
∴2B-
π
6
=
π
2
，∴B=
π
3
．
由a，b，c成等比數列，則b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC

=
sin(A+C)
sin2B
=
1
sinB
=
1
3
2
=
2
3
3
．
點評：本題考查了平面向量數量積的運算，考查了正弦定理，解答此題的關鍵是“降冪化積”，“角邊互化”．是解決此類問題常用到的辦法，此題是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）先將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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