Question

16．設函數f（x）=（2x-1）e^x-mx+m．
（1）當m=0時，求函數f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程．
（2）當m＜1時，若存在唯一整數x₀使得f（x₀）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）設函數g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，問題轉化為存在唯一的整數x₀使得g（x₀）在直線y=mx-m的下方，求導數可得函數的極值，數形結合可得-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，解關于m的不等式組可得．

解答 解：（1）f（x）=（2x-1）e^x的導數為f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
在點P（2，f（2））處的切線斜率為5e²，切點為（2，3e²），
即有在點P（2，f（2））處的切線方程為y-3e²=5e²（x-2），
即為5e²x-y-7e²=0；
（2）設函數g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，
由題意知存在唯一的整數x₀使得g（x₀）在直線y=h（x）=mx-m的下方，
∵g′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴當x＜-$\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0，當x＞-$\frac{1}{2}$時，g′（x）＞0，
∴當x=-$\frac{1}{2}$時，g（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
當x=0時，g（0）=-1，當x=1時，g（1）=e＞0，
直線y=mx-m恒過定點（1，0）且斜率為m，
故-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，
解得$\frac{3}{2e}$≤m＜1．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和極值，涉及轉化的思想，屬中檔題．