如圖，正方形CDEF內(nèi)接于橢圓，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形GHPQ的頂點(diǎn)G,H在橢圓上，頂點(diǎn)P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個不同點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

（1）；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，由圖形分析，利用CD和PQ的邊長得出點(diǎn)E和點(diǎn)G的坐標(biāo)，由于這2點(diǎn)都在橢圓上，聯(lián)立方程得出和，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，通過對題意的分析，只需證明直線MA，MB的斜率之和為0即可，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，列出2條直線的斜率的表達(dá)式，直線與橢圓方程聯(lián)立消參，得到關(guān)于x的方程，列出兩根之和與兩根之積，而通過轉(zhuǎn)化可以將得到的兩根之和與兩根之積代入，只要最后化簡結(jié)果為0即可.
試題解析：(1)∵，∴點(diǎn)，
又∵，∴點(diǎn)，
則，解得，
∴橢圓方程.（4分）
(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1＋k2＝0即可，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，，直線l方程為，代入橢圓方程消去y，
得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）
而



，（12分）
∴k1＋k2＝0，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.（13分）
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，若，且.
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知定點(diǎn)，若斜率為的直線過點(diǎn)并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且對于軌跡上任意一點(diǎn)，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

P為圓A：上的動點(diǎn)，點(diǎn).線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為Γ.
（1）求曲線Γ的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B(－2，0)，C(2，0)，直線AB，AC的斜率乘積為，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的兩動點(diǎn),且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且＋5＝0.
 
(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點(diǎn)D(1，0)為線段OF2的中點(diǎn)，M為橢圓E上的動點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B)，連結(jié)MF1并延長交橢圓E于點(diǎn)N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2，試問是否存在常數(shù)λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案