P為圓A：
上的動點，點
.線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點M，記點M的軌跡為Γ.
（1）求曲線Γ的方程；
（2）當點P在第一象限，且
時，求點M的坐標.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查橢圓的定義和標準方程、圓的方程、直線的方程、直線與曲線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.第一問，根據圓的方程得到圓心A的坐標和半徑的長，利用垂直平分線得到
，而
，所以
，根據橢圓的定義，判斷點M的軌跡為橢圓，得到橢圓的標準方程；根據已知條件先得出P點坐標，從而得到直線AP的方程，利用直線與橢圓相交解出M點坐標，過程中應注意方程根的取舍.
試題解析：（Ⅰ）圓
的圓心為
，半徑等于
．
由已知，于是
，
故曲線Γ是以
為焦點，以為長軸長的橢圓，
，
曲線Γ的方程為． 5分
（Ⅱ）由，
，得
． 8分
于是直線
方程為
．
由
解得
，
，
．
由于點
在線段上，所以點坐標為． 12分
考點：1.橢圓的定義及標準方程；2.直線與橢圓的位置關系.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線D的頂點是橢圓C：
＝1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設A、B分別為橢圓
＝1(a>b>0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x＝4是它的右準線．
(1)求橢圓的方程；
(2)設P為橢圓右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線BP與橢圓相交于兩點B、N，求證：∠NAP為銳角．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率e＝
，連結橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B.已知點A的坐標為(－a，0)．若|AB|＝
，求直線l的傾斜角．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，正方形CDEF內接于橢圓
，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=
．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個不同點，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知A,B分別是橢圓C1:
+
=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P（
,
）,Q（
,1）,求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
我校某同學設計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”來慶祝數學學科節(jié)的成功舉辦.其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
（1）求拋物線方程；
（2）當“蝴蝶形圖案”的面積最小時求的大小.
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的右焦點為
，實軸長
.
與雙曲線恒有兩個不同的交點
，且
為銳角(其中
為原點)，求
的取值范圍.