【題目】已知平面向,滿足,且,與夾角余弦值的最小值等于_________.
【答案】
【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn),結(jié)合題中所給模長(zhǎng)用表示出,即可用表示出與夾角的余弦值;利用換元法令,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域,求得的范圍.代入中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出與夾角余弦值,即可由m的取值范圍結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)得解.
平面向,滿足,則
因?yàn)?/span>
展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,
因?yàn)?/span>,代入化簡(jiǎn)可得
設(shè)與的夾角為
則由上式可得
而
代入上式化簡(jiǎn)可得
令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得
,而
所以
由余弦函數(shù)的值域可得,即
將不等式化簡(jiǎn)可得,解不等式可得
綜上可得,即
而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為,
則
當(dāng)分母越大時(shí),的值越小;當(dāng)的值越小時(shí),分母的值越大
所以當(dāng)時(shí), 的值最小
代入可得
所以與夾角余弦值的最小值等于
故答案為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定:考生必須參加長(zhǎng)跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分,滿分60分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí),為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況,按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,其中女生54人,得到下面的頻率分布直方圖,計(jì)分規(guī)則如表1:
表1
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(1)規(guī)定:學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀,在抽取的100名學(xué)生中,男生跳繩個(gè)數(shù)大于等于185個(gè)的有28人,根據(jù)已知條件完成表2,并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī),能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)?
表2
跳繩個(gè)數(shù) | 合計(jì) | ||
男生 | 28 | ||
女生 | 54 | ||
合計(jì) | 100 |
附:參考公式:
臨界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練,正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè),全年級(jí)恰有2000名學(xué)生,所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布(用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).
①估計(jì)正式測(cè)試時(shí),1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));
②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人,正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為,求的分布列及期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了5對(duì)父子的身高,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.
編 號(hào) | A | B | C | D | E |
父親身高 | 174 | 176 | 176 | 176 | 178 |
兒子身高 | 175 | 175 | 176 | 177 | 177 |
(1)從這五對(duì)父子任意選取兩對(duì),用編號(hào)表示出所有可能取得的結(jié)果,并求隨機(jī)事件 “兩對(duì)父子中兒子的身高都不低于父親的身高”發(fā)生的概率;
(2)由表中數(shù)據(jù),利用“最小二乘法”求關(guān)于的回歸直線的方程.
參考公式:,;回歸直線:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)和Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),,.
(1)以原點(diǎn)O和點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABO,使,求向量坐標(biāo);
(2)若且P、M、A三點(diǎn)共線,求的最小值;
(3)若,且,,求直線AQ的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)不相等的非零向量與,兩組向量,,,,和,,,,均有2個(gè)和3個(gè)按照某種順序排成一列所構(gòu)成,記,且表示所有可能取值中的最小值,有以下結(jié)論:①有5個(gè)不同的值;②若,則與無(wú)關(guān);③ 若∥,則與無(wú)關(guān);④ 若,則;⑤若,且,則與的夾角為;正確的結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②④B.②④C.②③D.①⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于下列結(jié)論:
①函數(shù)是偶函數(shù);
②直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;
③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象的函數(shù)解析式為;
④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整后平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為萬(wàn)元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(2)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)條件下,若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則的取值范圍是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線之間的陰影部分記為,區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)對(duì)于區(qū)域中動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;
(3)動(dòng)直線穿過(guò)區(qū)域,分別交直線于兩點(diǎn),若直線與點(diǎn)的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求證:的面積值為定值.
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