Question

給出下列四個命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點，并且|PF₁|=3，則|PF₂|=1；
②雙曲線C：

y2

9

-

x2

16

=1的頂點到漸近線的距離為

12

5

；
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線；
④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，則a=-1
其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定,直線的一般式方程與直線的垂直關系,橢圓的簡單性質

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，即可判斷①不正確；
②利用雙曲線的定義可知頂點坐標為（0，±3）．漸近線方程為：y=±

3

4

x，根據(jù)點到直線的距離公式可判斷②正確；
③首先將圓的方程轉化為標準方程，根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關系可判斷兩圓相交，從而可判斷兩圓恰有2條公切線；
④根據(jù)兩直線垂直的性質可得a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0，解方程即可判斷④不正確．

解答： 解：①由橢圓

x2

16

+

y2

9

=1可得，
a=4，b=3．
由橢圓的性質可知，
|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
若|PF₁|=3，則|PF₂|=5．
故①不正確；
②由雙曲線C：

y2

9

-

x2

16

=1可得，
a=3，b=4．
∴頂點坐標為（0，±3）．
漸近線方程為：y=±

3

4

x，即3x±4y=0．
∴頂點到漸近線的距離為
d=

|±12|

32+42

=

12

5

．
故②正確．
③⊙C₁：x²+y²+2x=0可化為
（x+1）²+y²=1．
∴圓心C₁（-1，0），半徑r₁=1．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0可化為
x²+（y+1）²=2．
∴圓心C₂（0，-1），半徑r2=

2

．
∴圓心距|C₁C₂|=

2

．
∵

2

-1＜|C₁C₂|=

2

＜

2

+1
∴兩圓相交．
∴兩圓恰有2條公切線．
故③正確．
④∵直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，
∴a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0．
解得a=-1或a=2．
故④不正確．
∴正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的定義及性質，兩圓位置關系的判定以及兩直線垂直的性質等知識，屬于中檔題．