【題目】如圖所示，四棱錐中，底面，，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）在中，由余弦定理可解得：

所以，所以是直角三角形，

又為等邊三角形，所以，所以，即可證明平面；

（2）：由（1）可知，以點為原點，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因為，，，

所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又為的中點，所以

又，所以為等邊三角形，

所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，以點為原點，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，.

所以，，.

設(shè)為平面的法向量，則，即

設(shè)，則，，即平面的一個法向量為，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）過點P（2，1），且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足 ，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．
（i）求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標；
（ii）求△OAB面積的最大值．

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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．

（1）求角C的大�。�

（2）若c=，a2+b2=10，求△ABC的面積．

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【題目】某項科研活動共進行了5次試驗，其數(shù)據(jù)如表所示：

特征量

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

x

555

559

551

563

552

y

601

605

597

599

598

（Ⅰ）從5次特征量y的試驗數(shù)據(jù)中隨機地抽取兩個數(shù)據(jù)，求至少有一個大于600的概率；
（Ⅱ）求特征量y關(guān)于x的線性回歸方程 ；并預(yù)測當特征量x為570時特征量y的值．
（附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為 = ， ）

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸為正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為（2 ，θ），其中θ∈（ ，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) （a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，不等式組 （r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z= 的最小值為（ ）
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點，過橢圓的左頂點A作直線軸，點M為直線上的動點，點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于P

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：；

（3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓 =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 右頂點為A，上頂點為B，離心率為e．橢圓上一點C滿足：C在x軸上方，且CF1⊥x軸．

（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）連結(jié)CF2并延長交橢圓于另一點D若 ≤e≤ ，求 的取值范圍．

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