【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x﹣a(x+1)ln(x+1),(x>﹣1,a≥0)
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,若方程f(x)=t在 上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)m>n>0時,(1+m)n<(1+n)m

【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=1﹣aln(x+1)﹣a
①a=0時,f′(x)>0∴f(x)在(﹣1,+∞)上是增函數(shù)
②當(dāng)a>0時,f(x)在 上遞增,在 單調(diào)遞減
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在 上單調(diào)遞增,在[0,1]上單調(diào)遞減


∴當(dāng) 時,方程f(x)=t有兩解
(Ⅲ)要證:(1+m)n<(1+n)m只需證nln(1+m)<mln(1+n),
只需證:
設(shè) ,則
由(Ⅰ)知x﹣(1+x)ln(1+x),在(0,+∞)單調(diào)遞減
∴x﹣(1+x)ln(1+x)<0,即g(x)是減函數(shù),而m>n
∴g(m)<g(n),故原不等式成立.
【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)大于0,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在 上單調(diào)遞增,在[0,1]上單調(diào)遞減可得解(Ⅲ)根據(jù)要證明的結(jié)論,利用分析法來證明本題,從結(jié)論入手,要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立,兩邊取對數(shù),構(gòu)造函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì).
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】一個盒子中裝有4個形狀大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.

(1)從盒子中不放回隨機抽取兩個球,求取出的球的編號之和不大于4的概率;

(2)先從盒子中隨機取一個球,該球的編號為,將球放回盒子中,然后再從盒子中隨機取一個球,該球的編號為,求的概率.

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【題目】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
注:年份代碼1﹣7分別對應(yīng)年份2008﹣2014.
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以證明;
(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.
附注:
參考數(shù)據(jù): =9.32, =40.17, =0.55, ≈2.646.
參考公式: ,
回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,

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【題目】下列命題正確的個數(shù)是(
①命題“x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“x∈R,x2+1≤3x”;
②“函數(shù)f(x)=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量 的夾角是鈍角”的充分必要條件是“ <0”.
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】設(shè)f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為m.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.

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【題目】已知動點 P 與定點的距離和它到定直線 x 4 的距離的比是1: 2 ,記動點 P 的軌跡為曲線 E.

(1)求曲線 E 的方程;

(2)設(shè) A 是曲線 E 上的一個點,直線 AF 交曲線 E 于另一點 B,以 AB 為邊作一個平行四邊形,頂點 A、B、C、D 都在軌跡 E 上,判斷平行四邊形 ABCD 能否為菱形,并說明理由;

(3)當(dāng)平行四邊形 ABCD 的面積取到最大值時,判斷它的形狀,并求出其最大值.

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【題目】設(shè):實數(shù)滿足,其中;:實數(shù)滿足.

(1),且為真,為假,求實數(shù)的取值范圍;

(2)的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l經(jīng)過點P(﹣1,0),其傾斜角為α,在以原點O為極點,x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中(取相同的長度單位),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+1=0. (Ⅰ)若直線l與曲線C有公共點,求α的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍.

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【題目】潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分

布直方圖(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在)。

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(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);

(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進一步分析,則月收入在的這段應(yīng)抽多少人?

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