Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；

（3）證明：且

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求函數(shù)定義域，再求導，根據(jù)導數(shù)的正負，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）對參數(shù)進行分類討論，求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性以及最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，構(gòu)造不等式，進而利用數(shù)列求和，即可證明.

（1）易知的定義域為，又

當時，；當時，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

（2）當時，，不成立，故只考慮的情況

又

當時，當時，；當時，

在上是增函數(shù)，在時減函數(shù)

此時

要使恒成立，只要即可

解得：．

（3）當時，有在恒成立，

且在上是減函數(shù)，，

即在上恒成立，

令，則，

即，

即：成立．