Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，則直線(xiàn)PC與AB所成角的大小是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間角

分析：取PA中點(diǎn)E，PB中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，連接AG，由三角形中位線(xiàn)定理可得∠EFG（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)AB與PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的長(zhǎng)，用中位線(xiàn)定理得到EF=FG=

2

，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得異面直線(xiàn)AB與PC所成角的大�。�

解答： 解：取PA中點(diǎn)E，PB中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，EG，
∵EF、FG分別是△PAB、△PBC的中位線(xiàn)
∴EF∥AB，F(xiàn)G∥PC，
因此，∠EFG（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)AB與PC所成的角．
連接AG，則Rt△AEG中，AG=

AC2+CG2

=

5

，
EG=

EA2+AG2

=

6

，
又∵AB=PC=2

2

，∴EF=FG=

2

．
由此可得，在△EFG中，cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2EF•FG

=-

1

2

結(jié)合∠EFG是三角形內(nèi)角，可得∠EFG=120°．
綜上所述，可得異面直線(xiàn)AB與PC所成角的大小為60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，求異面直線(xiàn)所成角，著重考查了異面直線(xiàn)及其所成的角及其求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．