Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面ABC為直角三角形，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=1．已知G與E分別為A₁B₁和CC₁的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若GD⊥EF，則線段DF的長度的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，可得F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E(0，1，

1

2

)，G(

1

2

，0，1)，D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．可得

EF

，

GD

．利用

GD

⊥

EF

F，可得

GD

•

EF

=0，由此推出 0＜t₂＜

1

2

．再利用向量的模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
則F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E(0，1，

1

2

)，G(

1

2

，0，1)，D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．
∴

EF

=(t1，-1，-

1

2

)，

GD

=(-

1

2

，t2，-1)．
∵GD⊥EF，∴t₁+2t₂=1，由此推出 0＜t₂＜

1

2

．
又

DF

=(t1，-t2，0)，|

DF

|=

t12+t22

=

5t22-4t2+1

=

5(t2- 2 5 )2+ 1 5

，
∴當(dāng)t₂=

2

5

時(shí)，有 |

DF

|min=

5

5

．
故答案為：

5

5

點(diǎn)評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的運(yùn)算及模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性解決問題，考查了推理能力和空間想象能力、計(jì)算能力，屬于難題．