Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=A₁B=2，頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影恰好為點(diǎn)B．
（1）求三棱柱的表面積；
（2）在棱B₁C₁上確定一點(diǎn)P，使AP=

14

，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）三棱柱的底面是直角三角形，兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一個(gè)矩形，可求三棱柱的表面積；
（2）分別求出平面P-AB-A₁的法向量和平面ABA₁的法向量，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影恰好為點(diǎn)B，
∴A₁B⊥平面ABC，
∴A₁B⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴A₁B∩AB=B，
∴AC⊥平面A₁B，
∴AC⊥A₁A，
過A₁作A₁D⊥B₁C₁，垂足為D，連接BD，則BD⊥B₁C₁，
∵AB⊥AC，AB=AC=A₁B=2，
∴BD=

6

，BC=A₁A=2

2

，
∵三棱柱的底面是直角三角形，兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一個(gè)矩形，
∴三棱柱的表面積為2×

1

2

×2×2+2×2

2

+2×2+2

2

×

6

=8+4

2

+4

3

；
（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
設(shè)

B1P

=λ

B1C1

=（2λ，-2λ，0），則P（2λ，4-2λ，2），
∴

AP

=（2λ，4-2λ，2），
∴|

AP

|=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

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，
解得λ=0.5或λ=1.5（舍），
則P為棱B₁C₁的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（1，3，2），
設(shè)平面P-AB-A₁的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

x+3y+2z=0 2y=0

，令z=1，得

n1

=（-2，0，1），
由題意知平面ABA₁的法向量為

n2

=（1，0，0），
設(shè)二面角P-AB-A₁的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2 5

5

，
∴sinθ=

5

5

．
∴二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了利用圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求出二面角的大�。�