【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2eax , a>0.
(1)證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
(2)若方程f(x)﹣1=0有且只有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的值.
【答案】
(1)證明:f(x)的定義域R,求導(dǎo),f′(x)=2xeax+ax2eax=xeax(ax+2),
當x∈(0,+∞)時,a>0,則eax>0,則xeax(ax+2)>0,
則f′(x)>0,
∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)
(2)令f′(x)=0,記得x=﹣v或x=0,
x | (﹣∞,﹣ ) | ( ,0) | 0 | (0,+∞) | |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
則當x=﹣ 時,函數(shù)有極大值f(﹣ )= ,
當x=0時,函數(shù)有極小值f(0)=0,
當x<0時,f(x)>0,x→﹣∞時,f(x)→0,x→+∞時,f(x)→+∞,
由f(x)﹣1=0,即f(x)=1有且只有兩個不同的實數(shù)根,
即 =1,解得:a= ,(負根舍去)
實數(shù)a的值
【解析】(1)求導(dǎo),由x∈(0,+∞)則f′(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);(2)求導(dǎo),f′(x)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f(x)極大值,由f(x)=1有且只有兩個不同的實數(shù)根,即 =1,即可求得實數(shù)a的值.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個盒子中裝有4個編號依次為1、2、3、4的球,這4個球除號碼外完全相同,先從盒子中隨機取一個球,該球的編號為X,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為Y
(1)列出所有可能結(jié)果.
(2)求事件A=“取出球的號碼之和小于4”的概率.
(3)求事件B=“編號X<Y”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1在區(qū)間(0,2)上不單調(diào),則實數(shù)k的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足a1= ,2Sn﹣SnSn﹣1=1(n≥2).
(1)猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法證明;
(2)設(shè)bn= ,n∈N* , 求bn的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了估計某人的射擊技術(shù)情況,在他的訓練記錄中抽取50次檢驗,他的命中環(huán)數(shù)如下:10,5,5,8,7,8,6,9,7,8,6,6,5,6,7,8,10,9,7,9,8,7,6,5,9,9,8,8,5,8,6,7,6,9,6,8,8,8,6,7,6,8,107,10,8,7,7,9,5
(1)列出頻率分布表
(2)畫出頻率分布的直方圖.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為迎接黨的“十九”大的召開,某校組織了“歌頌祖國,緊跟黨走”黨史知識競賽,從參加考試的學生中抽出50名學生,將其成績(滿分100分,成績均為整數(shù))分成六段, ,…, 后繪制頻率分布直方圖(如下圖所示)
(Ⅰ)求頻率分布圖中的值;
(Ⅱ)估計參加考試的學生得分不低于80的概率;
(Ⅲ)從這50名學生中,隨機抽取得分在的學生2人,求此2人得分都在的概率.
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