Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線EF與平面ABE所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取PA中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接MN，NF，ME，容易證明四邊形MNFE為平行四邊形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）分別以向量

AB

，

AD

，

AP

的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．可以確定點(diǎn)P，A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而確定向量

EF

，

AE

，

AB

的坐標(biāo)，設(shè)平面ABE的法向量為

n

=(a，b，c)，根據(jù)

n

⊥

AE

，

n

⊥

AB

即可求得一個(gè)法向量，根據(jù)法向量和向量

EF

的夾角和EF與平面ABE所成的角的關(guān)系即可求出所求的角．

解答： 解：（Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點(diǎn)M，N，連接MN、ME、NF，則NF∥AD，且NF=

1

2

AD，ME∥AD，且ME=

1

2

AD，所以NF∥ME，且NF=ME所以四邊形MNFE為平行四邊形；
∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）由已知：底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD兩兩垂直；
如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

AB

，

AD

，

AP

為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，所以：
P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E(0，

1

2

，

1

2

)，F(xiàn)(

1

2

，

1

2

，0)；
∴

EF

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

AE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

AB

=(1，0，0)；
設(shè)平面ABE法向量

n

=(a，b，c)，則

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0；
∴

1 2 b+ 1 2 c=0 a=0

令b=1，則c=-1，a=0；
∴

n

=(0，1，-1)為平面ABE的一個(gè)法向量；
設(shè)直線EF與平面ABE所成角為α，于是：
sinα=|cos＜

EF

，

n

＞|=|

EF • n

| EF || n |

|=

1

2

；
所以直線EF與平面ABE所成角為

π

6

．

點(diǎn)評：考查線面平行的判定定理，通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法求一直線和平面所成的角，以及兩非零向量垂直的充要條件．