Question

設(shè)數(shù)列

y= 3 (x-1) x2+y2=1

滿足a₁=1a_n+1-a_n=

1

2n

(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“累加求和”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）b_n=na_n=2n-

n

2n-1

，利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，

an-an-1= 1 2n-1 an-1-an-2= 1 2n-2 … a2-a1= 1 2

∴an-a1=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，
∴an=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)，
當(dāng)n=1時(shí)，an=2(1-

1

2

)=1，成立，
∴通項(xiàng)a_n=2(1-

1

2n

)（n∈N^*）．
（2）b_n=na_n=2n-

n

2n-1

，
則S_n=b₁+b₂+…+b_n=2(1+2+…+n)-(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)
令An=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
則

1

2

An=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
可?得

1

2

An=1+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
An=4-

n+2

2n-1

，
則Sn=2×

n(1+n)

2

-4+

n+2

2n-1

=n2+n-4+

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“累加求和”、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．