Question

已知f（x）=4^x-m•2^x+1，g（x）=

2x-1

2x+1

，若存在實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿(mǎn)足方程g（a）+g（b）=0和f（a）+f（b）=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出g（a）+g（b）=0滿(mǎn)足的條件，然后利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：若g（a）+g（b）=0，則

2a-1

2a+1

+

2b-1

2b+1

=

(2a-1)(2b+1)+(2a+1)(2b-1)

(2a+1)(2b+1)

=0，
整理得2^a+b+1=2，即a+b+1=1，
則a+b=0，即b=-a，
∴f（a）+f（b）=0等價(jià)為f（a）+f（-a）=0有解，
即4^a-m•2^a+1+4^-a-m•2^-a+1=0，
則m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

，
∵

4a+4-a

2a+1+2-a+1

=

22a+2-2a

2(2a+2-a)

=

(2a+2-a)2-2

2(2a+2-a)

=

22a+2-2a

2(2a+2-a)

=

2a+2-a

2

-

1

2a+2-a

，
設(shè)t=2^a+2^-a，則t≥2，
則

2a+2-a

2

-

1

2a+2-a

=

1

2

t-

1

t

，在t≥2時(shí)，單調(diào)遞增，
即m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

≥

1

2

×2-

1

2

=

1

2

，
∴要使m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

有解，則m≥

1

2

，
故答案為：[

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題，根據(jù)條件求出a+b=0是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．