Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求證：f（x）＞2g（

x-1

x+1

）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程

1

2

g(x2)-f(1+x2)=k有四個(gè)不同的實(shí)根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，將不等式的證明化為函數(shù)單調(diào)性與最值的證明；（2）構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，由數(shù)形結(jié)合求k的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：令h(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-

2x-2

x+1

，x＞1
h′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴f（x）＞2g（

x-1

x+1

）．
（2）設(shè)F（x）=

1

2

g（x²）-f（1+x²）=

1

2

x²-ln（1+x²），x∈R，
則F′（x）=

x(x+1)(x-1)

1+x2

，
令F′（x）=0解得，x=0或x=±1，
又∵F（x）在（-∞，-1）和（0，1）上遞減，在（-1，0）和（1，+∞）上遞增；
且F（-1）=F（1）=

1

2

-ln2＜0，F(xiàn)（0）=0；
∴k的取值范圍是（

1

2

-ln2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了不等式的證明方法，屬于中檔題．