Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

．
（1）求直線D₁B與平面ABCD所成角的大��；
（2）求證：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由D₁D⊥平面ABCD，BD是D₁B在底面ABCD上的射影，則∠D₁BD是直線D₁B與平面ABCD所成的角，在直角三角形D₁BD中，由已知數(shù)據(jù)，即可求出∠D₁BD；
（2）要證AC⊥平面BB₁D₁D，只需證得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由正方形的對角線的性質(zhì)和D₁D⊥底面ABCD，即可得證．

解答： （1）解：∵D₁D⊥平面ABCD，BD是D₁B在底面ABCD上的射影，
∴∠D₁BD是直線D₁B與平面ABCD所成的角，
在直角三角形D₁BD中，BD=

2

，D₁D=

2

，
則tan∠D₁BD=

D1D

BD

=1，
∴∠D₁BD=45°，
即直線D₁B與平面ABCD所成角的大小為45°；
（2）證明：∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．

點評：本題考查空間直線與平面所成的角，考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，同時考查運算能力，屬于中檔題．