【題目】已知橢圓:,、分別為橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),為直線上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),連接交橢圓于點(diǎn).
(1)若,求直線的方程;
(2)是否存在軸上的定點(diǎn)使得以為直徑的圓恒過(guò)與的交點(diǎn)?如果存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)或;(2)存在,.
【解析】
(1)根據(jù),可得,利用坐標(biāo)計(jì)算,可得點(diǎn),代入橢圓方程,然后可得,最后可得直線的斜率并得方程.
(2)假設(shè)直線的方程,然后分別與,聯(lián)立,可得,然后假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),可得結(jié)果.
解:(1)設(shè),.
,
, .
整理得 , 即.
代入橢圓方程解得:
,.
故直線的方程為或.
(2)方法一:
由題可知:直線的斜率存在
設(shè)直線的方程為,,
由得.
由得.
.
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足要求,則.
,.
,整理得.
存在軸上的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)與的交點(diǎn).
方法二:
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足要求,設(shè),
則由以為直徑的圓通過(guò)與的交點(diǎn)得
①
設(shè) 整理得
,
,
,整理得 . ②
將②代入①,有,,解得.
存在軸上的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)與的交點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù);②的最大值為;
③在有個(gè)零點(diǎn);④在區(qū)間單調(diào)遞增.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,a2,…,an可得n!個(gè)不同的排列,每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)n!行的數(shù)陣.對(duì)第i行ai1,ai2,…,ain,記bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…,n!.例如用1,2,3可得數(shù)陣如圖,對(duì)于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以bl+b2+…b6=-12+2×12-3×12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中,b1+b2+…b120等于( )
A.-3600B.-1800C.-1080D.-720
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻,避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式.在家中適當(dāng)鍛煉,合理休息,能夠提高自身免疫力,抵抗該種病毒.某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運(yùn)動(dòng)情況,從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人,記錄了他們某天的鍛煉時(shí)間,其頻率分布直方圖如下:
(1)求a的值,并估計(jì)這100位居民鍛煉時(shí)間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)小張是該小區(qū)的一位居民,他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時(shí)長(zhǎng):
序號(hào)n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
鍛煉時(shí)長(zhǎng)m(單位:分鐘) | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)求m關(guān)于n的線性回歸方程;
(Ⅱ)若(是(1)中的平均值),則當(dāng)天被稱為“有效運(yùn)動(dòng)日”.估計(jì)小張“宅”家第8天是否是“有效運(yùn)動(dòng)日”?
附;在線性回歸方程中,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),以線段為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,則( )
A.
B.若,則直線的斜率為
C.若拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于,則拋物線的方程為
D.若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為,則的最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期.
(1)一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格,
該傳染病的潛伏期受諸多因素影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)
潛伏期≤6天 | 潛伏期>6天 | 總計(jì) | |
50歲以上(含50歲) | 100 | ||
50歲以下 | 55 | ||
總計(jì) | 200 |
(2)以這1000名患者的潛伏期超過(guò)6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過(guò)6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立.為了深入研究,該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:下面的臨界值表僅供參考.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
(參考公式:,其中.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列的某一項(xiàng),若存在,有成立,則稱具有性質(zhì).
(1)設(shè),若對(duì)任意的,都具有性質(zhì),求的最小值;
(2)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng),公差為,前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的數(shù)列中的項(xiàng)都具有性質(zhì),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng),當(dāng)時(shí),存在滿足,且此數(shù)列中恰有一項(xiàng)不具有性質(zhì),求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值和最小值以及取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,直線與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)在橢圓上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)時(shí),的平分線總是平行于軸?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c均為正數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣b|﹣|x+c|+a,x∈R.
(1)若a=2b=2c=2,求不等式f(x)<3的解集;
(2)若函數(shù)f(x)的最大值為1,證明:.
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