【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線是線段的垂直平分線,試問直線是否過定點(diǎn)?若是,請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)直線過定點(diǎn),詳見解析.
【解析】
(1)由題意得出,由題意知點(diǎn)在橢圓上,由此得出關(guān)于、的方程組,求出、的值,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)解法一:由題意可知,直線的斜率不為零,然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論,在第一種情況下,設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由得出,并寫出直線的方程,由此可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo);在第二種情況下可得出直線為軸,即可得出直線過定點(diǎn),由此得出結(jié)論;
解法二:由題意可知,直線的斜率不為零,然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論,在第一種情況下,由點(diǎn)差法可得出直線的斜率為,可寫出直線的方程,即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo);在第二種情況下可得出直線為軸,即可得出直線過定點(diǎn),由此得出結(jié)論.
(1)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為.
由于拋物線的準(zhǔn)線截橢圓所得弦長為,
則點(diǎn)在橢圓上,則有,解得,
因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)法一:顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.
當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí),易知,設(shè)直線的方程為,
代入橢圓方程并化簡得:.
設(shè),,則,解得.
因?yàn)橹本是線段的垂直平分線,
故直線的方程為,即,即.
令,此時(shí),,于是直線過定點(diǎn);
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易知,此時(shí)直線,故直線過定點(diǎn).
綜上所述,直線過定點(diǎn);
法二:顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.
當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí),設(shè),,
則有,,
兩式相減得,
由線段的中點(diǎn)為,則,,
故直線的斜率,
因?yàn)橹本是線段的垂直平分線,
故直線的方程為,即,即.
令,此時(shí),,于是直線過定點(diǎn);
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易知,此時(shí)直線,故直線過定點(diǎn)
綜上所述,直線過定點(diǎn).
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B.在上的值域?yàn)?/span>
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為,兩點(diǎn),已知圓:與軸的交點(diǎn)分別為,(點(diǎn)在軸的正半軸),且直線與圓相切,求的面積與的面積乘積的最大值.
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