Question

【題目】如圖所示，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的焦距為2，直線y=x被橢圓C截得的弦長為 ．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（x0 ， y0）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O引兩條射線l1 ， l2與圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 分別相切，且l1 ， l2的斜率k1 ， k2存在．
①試問k1k2是否定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由；
②若射線l1 ， l2與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B，求|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由2c=2，c=1，設(shè)直線直線y=x被與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，
則丨OP丨= ，設(shè)P（ ， ），代入橢圓方程， ，①
由a2﹣b2=1，②
解得：a2=2，b2=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ；
（Ⅱ）①設(shè)射線l的方程y=kx，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 = ，兩邊平方得（3x02﹣2）k2﹣6x0y0k+3y02﹣2=0，
由y02=1﹣ ，
∴k1k2= = =﹣ ，
∴k1k2為定值，定值﹣ ，
②方法一：聯(lián)立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ，
|OA|2|OB|2= =4× = =2+ ，
=2+ ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)k12= ，取等號，
∴|OA||OB|的最大值為 ，
方法二：聯(lián)立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ，
則|OA|2+|OB|2= + = + = + =3，
由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，則|OA||OB|≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)，取等號，
∴|OA||OB|的最大值 ．
【解析】（Ⅰ）由c=2，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，由a2﹣b2=1，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）①設(shè)射線l的方程y=kx，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理即可求得k1k2= ，由y02=1﹣ ，即可求得k1k2=﹣ ；②方法一：分別求得直線OA及OB的方程代入橢圓方程，求得|OA|及|OB|，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得|OA||OB|的最大值；
方法二：|OA|2+|OB|2= + ，y02=1﹣ ，代入即可求得：|OA|2+|OB|2=3，由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，即可求得|OA||OB|的最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．