【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AA′=2AC=2BC,E為AA′的中點,C′E⊥BE.

(1)求證:C′E⊥平面BCE;
(2)求直線AB′與平面BEC′所成角的大小.

【答案】
(1)證明:在矩形ACC′A′中,∵E是AA′的中點,AA′=2AC,

∴EA=AC=EA′=A′C′,

∴∠A′EC′=∠AEC=45°,

∴∠CEC′=90°.即C′E⊥CE.

又C′E⊥BE,CE平面BCE,BE平面BCE,BE∩CE=E,

∴C′E⊥平面BCE


(2)證明:∵C′E⊥平面BCE,BC平面BCE,

∴C′E⊥BC,

又CC′⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴CC′⊥BC,又C′E,CC′平面ACC′A′,C′E∩CC′=C′,

∴BC⊥平面ACC′A′,又AC平面ACC′A′,

∴BC⊥AC.

以C為原點,以CA,CB,CC′為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示:

設AC=BC=1,則CC′=2.

∴A(1,0,0,),B(0,1,0),B′(0,1,2),E(1,0,1),C′(0,0,2).

=(﹣1,1,2), =(1,﹣1,1), =(0,﹣1,2).

設平面BC′E的法向量為 =(x,y,z).則

,令z=1,得 =(1,2,1).

=3,| |= ,| |= ,

∴cos< >= =

∴直線AB′與平面BEC′所成角的正弦值為

∴直線AB′與平面BEC′所成角為30°.


【解析】(1)由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°,于是C′E⊥CE,結(jié)合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE;(2)證明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC,以C為原點建立空間直角坐標系,設AC=1,求出 和平面BC′E的法向量 ,則直線AB′與平面BEC′所成角的正弦值為|cos< >|.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則即可以解答此題.

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A.
B.
C.
D.

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(3)已知15位有意愿生二胎的女性公務員中有兩位來自省婦聯(lián),該部門打算從這15位有意愿生二胎的女性公務員中隨機邀請兩位來參加座談,設邀請的2人中來自省女聯(lián)的人數(shù)為X,求X的公布列及數(shù)學期望E(X).

男性公務員

女性公務員

總計

有意愿生二胎

30

15

無意愿生二胎

20

25

總計

附:

P(k2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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A. B. C. D.

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