Question

【題目】已知的三個頂點，，，其外接圓為.

（1）求的面積；

（2）若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；

（3）對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，，使得點的線段的中點，求的半徑的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件直接求解；(2)借助題設(shè)待定直線的斜率,再運用直線的點斜式方程求解；(3)借助題設(shè)建立關(guān)于的不等式,運用分析推證的方法進行求解.

試題解析：

（1）的面積為2；

（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，

所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，

設(shè)圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以.

當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；

當直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或.

（3）直線的方程為，設(shè)，，

因為點是線段的中點，所以，又，都在半徑為的圓上，

所以即

因為該關(guān)于，的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，所以，

又，所以對成立.

而在上的值域為，所以且.

又線段與圓無公共點，所以對成立，即.

故圓的半徑的取值范圍為.