【題目】已知拋物線,點M(m, 0)在x軸的正半軸上,過M點的直線與拋物線 C相交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1) 若m=l,且直線的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(2) 是否存在定點M,使得不論直線繞點M如何轉動, 恒為定值?
【答案】(1). (2)存在定點M(2, 0).
【解析】試題分析:(I)由題意得M(1,0),直線l的方程為y=x﹣1與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理,可得圓心坐標與圓的半徑,從而可得圓的方程;
(II)若存在這樣的點M,使得為定值,直線l:x=ky+m與拋物線方程聯(lián)立,計算|AM|,|BM|,利用恒為定值,可求點M的坐標.
試題解析:
(1)當m=1時,M(1,0),此時,點M為拋物線C的焦點,
直線的方程為y=x-1,設,聯(lián)立,
消去y得, ,∴, ,
∴圓心坐標為(3, 2).
又,∴圓的半徑為4,
∴圓的方程為.
(2)由題意可設直線的方程為,則直線的方程與拋物線聯(lián)立,
消去x得: ,則, ,
對任意恒為定值,
于是m=2,此時.
∴存在定點M(2, 0),滿足題意.
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【題目】數(shù)學名著《算學啟蒙》中有如下問題:“松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.”如圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入的a,b的值分別為16,4,則輸出的n的值為( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【題目】設函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R。
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若f(x)存在極點x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 , 求證:x1+2x0=3;
(3)設a>0,函數(shù)g(x)=∣f(x)∣,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于
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【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點,
(1)若,求曲線的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,
求證:弦的中點必在曲線的另一條漸近線上;
(3)對于(1)中的曲線,若直線過點交曲線于點,求△面積的最大值.
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【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在直線坐標系xoy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.
(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;
(2)直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),l與C交于A、B兩點,∣AB∣= ,求l的斜率。
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)設函數(shù)g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在區(qū)間上的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx-cosx)+m(m∈R),將y=f(x)的圖象向左平移 個單位后得到g(x)的圖象,且y=g(x)在區(qū)間[]內的最小值為 .
(1)求m的值;
(2)在銳角△ABC中,若g( )=,求sinA+cosB的取值范圍.
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【題目】已知圓M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2 ,則圓M與圓N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置關系是( )
A.內切
B.相交
C.外切
D.相離
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