Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求T_n．
①求T_n；
②記，若恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，則利用b₂S₂=6，b₃S₃=24，可建立方程組，從而可求數(shù)列的公差與公比，從而可得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由（I）知，
①是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，.是一個(gè)典型的裂項(xiàng)求和法模型，由此可得結(jié)論；
②記，確定在（k∈N^*）上單調(diào)遞減，即可求k的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，則，
依題意有，∴或（舍去）
解得，故a_n=n，（n∈N^*）
（II）由（I）知，
①是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，.是一個(gè)典型的裂項(xiàng)求和法模型，=．
②記，
∵，
∴在（k∈N^*）上單調(diào)遞減，
∴，
∴k≤9，
∴（k）_max=9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求通項(xiàng)，用合適的方法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．