Question

【題目】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線的斜率為2．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）與圓相切的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)，若在拋物線上存在點(diǎn)，使，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）設(shè)切點(diǎn)，可分別寫出過(guò)兩點(diǎn)的切線方程，再利用它們都過(guò)點(diǎn)，從而求p，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意設(shè)直線，由題意可得，，可化為，由直線方程與拋物線聯(lián)立可得，從而求b的取值范圍，進(jìn)而由韋達(dá)定理可得，從而求λ的取值范圍．

試題解析：（1）設(shè)，

則點(diǎn)處拋物線的切線為，過(guò)點(diǎn)，因而；

同理，點(diǎn)處拋物線的切線為，過(guò)點(diǎn)，因而．

兩式結(jié)合，說(shuō)明直線過(guò)兩點(diǎn)，也就是直線的方程為．

由已知直線的斜率為2，知，

故所求拋物線的方程為．

（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在與斜率為0時(shí)不合題意

故可設(shè)直線的方程為．

又直線與圓相切，

所以，即．

與拋物線方程聯(lián)立，即，

化簡(jiǎn)消得，

設(shè)，則，

．

由，則，．

又點(diǎn)在拋物線上，則．

即，由于，因而．

所以的取值范圍為